a ojo de buen cubero

Matemáticas extrañas

Cuando en el instituto nos cuentan que la materia está formada por protones, neutrones y electrones, se quedan un poco cortos, no es que nos engañen, pero hay algo más allá. Hoy día se cree que los componentes fundamentales de la materia son los quarks, pero no se sabe si los quarks están formados por algo más o son realmente fundamentales e indivisibles.

Una curiosa propiedad de los quarks es la de confinamiento y libertad asintótica. Me explico, los quarkas se comportan como si estuvieran atados por gomas elásticas, de manera que cuando están juntos pueden moverse libremente y apenas hay fuerzas entre ellos, pero cuando se alejan, empiezan a sentir una fuerza que los atrae, mayor cuanto más se alejen. Lo curioso de esta "goma" que los une es que es "mágica" en el sentido de que en cada extremo siempre tiene que haber un quark (también podemos tener gomas de tres extremos, y el resultado sería parecido, aunque no igual). ¿Cuál es el resultado de esta curiosa propiedad? En apariencia ninguno, hasta que tiramos mucho de un par de quarkas y los alejamos tanto que la goma se rompe, de manera que aparecen dos nuevos extremos donde antes la goma estaba unida. El resultado es que ahora tendremos dos nuevos quarks, uno acompañando a cada uno de los dos primeros. Esto es así, y de hecho nunca se ha conseguido observar un quark que no esté acompañado.

Lo curioso, es pensar que pasaría si la naturaleza se comportara así en aspectos macroscópicos. Tenemos dos piedras, quitamos una y ¿cuántas nos quedan? pues dos

2-1=2

Realmente estoy hubiera complicado las cosas a la hora de crear las matemáticas ¿no creeis?

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enviado por Sergio @ 12:40 p. m.
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Interludio

En medio de esta loca carrera de exámenes que tenemos en febrero, un pequeño apunte para que esto no muera del todo.

Mi primera lección de la carrera, con el Chachi para más señas, fué por qué los números son como son, y resulta que no había visto ningún sitio donde lo explicaran hasta hoy. En este enlace teneis la explicación.

[vía En las Montañas de la Locura]

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enviado por Sergio @ 10:37 p. m.
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Pirámides

Premio para el que me diga el volumen de una pirámide antes de acabar de leer todo esto. Mientras lo pensais os dejo con una pieza de Johann Strauss hijo, la "Marcha Egipcia" donde Strauss consigue adentrarnos en el ambiente de las pirámides, aunque no puede evitar introducir algo de la música que más le caracteriza.


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¿Y bien? ¿Tenemos respuesta? La verdad es que yo es una fórmula que nunca me aprendí (si es que alguna vez tuve que aprenderla), y la más curioso de todo es que los egipcios ya habían deducido el volumen de la pirámide, al menos para el caso que les interesaba, que era sabiendo el area de su base y su altura.

Empecemos con un prisma que tiene inscrita la pirámide en su interior.



De este prisma podemos quedarnos solo con un cuarto, por ejemplo, el de la derecha



En este cuarto de prisma tendremos también un cuarto de pirámide que podemos separar también



Lo interesante es ver el trozo que no es de la pirámide para ver que hacemos con él. Si nos fijamos, podemos separarlo en dos, también dividiéndolo por la mitad



Y ya está, del trozo que no es de la pirámide, la mitad es un trozo igual a un cuarto de pirámide, y la otra mitad, aunque no se igual en forma, es igual en volumen, de manera que en un cuarto de prisma, entran tres cuartos de pirámide, luego en un prisma entero, entran tres pirámides enteras con lo que deducimos que el volumen de la pirámide es el area de su base, mulitplicada por su altura y dividido entre tres:

V_pirámide=(A_base·h)/3

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enviado por Sergio @ 9:23 p. m.
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Números de Kaprekar

Ya sabíamos que los matemáticos tienen algo de taxonomistas por eso de que les gusta clasificar las cosas con las que trabajan, y resulta muy útil, por ejemplo saber si una función es diferenciable o no, o si una variedad es abierta o cerrada, o si un número es primo o no lo es.

Pero a veces llegan a extremos que a mi parecer, tienen como único objetivo el entretenimiento, porque si no, que alguien me explique para que se pueden usar los números de Kaprekar.

Un número de Kaprekar es aquel tal que si lo elevamos al cuadrado, separamos el resultado en dos partes y las sumamos, nos da el número original, por ejemplo, el 9

9²=81; 8+1=9

Otros números de Kaprekar son

45: 45²=2025; 20+25=45
55: 55²=3025; 30+25=55
99: 99²=9801; 98+01=99
297: 297²=088209; 088+209=297
703: 703²=494209; 494+209=703

y la lista sigue

Además, no solo eso, sino que se puede demostrar que todos los números formados por nueves (9, 99, 999, 9999...), entre muchos otros son números de Kaprekar.

Y la cosa no queda ahí. Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905- 1986) fue un matemático indio que ya desde pequeño se interesó por esto de los números, hasta tal punto que también existe una constante que lleva su nombre, la constante de Kaprekar.

Para calcular esta constante solo hay que tomar un número de cuatro cifras, ordenar las cifras de manera decreciente, y a este número restarle el número que se forma al ordenar las cifras de manera creciente. Si el resultado no tiene 4 cifras se completa con ceros y se vuelve a ordenar para repetir el proceso, hasta que entremos en un bucle del que no se puede salir. Sabiendo que la única condición es no elegir un número con cuatro o tres cifras iguales (como el 4444 o 2223) ¿Cuál es la constante de Kaprekar?

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enviado por Sergio @ 8:44 p. m.
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A vueltas con el (por fin) Teorema de Poincaré

Me había medio prometido, que no hablaría de ello, que es demasiado técnico y que me enrollo como una persiana, que la gente no sería capaz de entender lo que es una 3-esfera, y mucho menos una n-esfera, pero después de leer este artículo en Microsiervos, no he podido resistir la tentación.

En él se encuentran enlaces a toda la historia sobre Perelman, su rechazo de la medalla Fields e incluso una pequeña descripción de qué dice el teormea (en la demostración no me meto). Por supuesto, la explicación que dan del teorema habla de variedades simplemente conexas y homeomorfismos y demás. Es, ciertamente, una de las descripciones más sencillas a la par de rigurosas que se pueden encontrar, pero le falta la parte divulgativa. O el nivel de los lectores de Microsiervos es muy, pero que muy alto para entender eso, o no se van a enterar ni la mitad.

Usé el formulario de contacto para enviarles un poco de aclaraciones de como va el tema, y ahora lo pongo aquí, un poco modificado:


Llanamente se puede decir que una variedad es simplemente conexa cuando ocurre lo siguiente.

Imaginemos un lazo, que está sobre la esfera, sí, una cuerda anudada, y de ahí no se puede levantar, todos los puntos del lazo, tienen que estar en contacto con la esfera. Pues bien, si hacemos el lazo más pequeño, y más pequeño, y más pequeño, al final nos quedamos con un punto.

¿Qué pasa si tenemos un toro (una rosquilla)? Tambien es una variedad cerrada, pero no es simplemente conexa, pq si hacemos que el lazo pase por el agujero, no podemos hacerlo más pequeño, quedará atado a la roquilla y nunca llegará a ser un punto.

Como curiosidad, decir que topologicamente, las formas se vienen a clasificar según el número de agujeros. Por ejemplo, el ratón del ordenador, si se pudiera hinchar y deformar, como no tiene agujeros, sería homeomorfo con una esfera, mientras que una taza con su asa, como tiene un agujero, sería homeomorfo con una rosquilla (los topólogos son esos señores que a la hora del desayuno confunden la taza con el donuts). Y queda así explicado, (más o menos), lo que significa un homemorfismo.

Además, mientras una esfera se puede, ver, una esfera en 3D es una cosa que poca gente (por no decir nadie) se puede imaginar. Si una esfera normal (de radio 1) tiene de fórmula x²+y²+z²=1, una 3-esfera tiene de fórmula x²+y²+z²+t²=1 y así sucesivamente para una n-esfera.

El Teorema de Poincaré dice, que, si una esfera es la única variedad en 2D cerrada y simplemente conexa, ocurre lo mismo con una 3-esfera, en general una n-esfera, que será la única variedad en n dimensiones, cerrada y simplemente conexa. Esto es lo que ha demostrado Perelman. Bueno en realidad estaba demostrado para todo n menos para n=3, y Perelman ha conseguido al final convertir la conjetura en teorema.

Para aclarar dudas, pregunten.

Actualizando: Por el despiste cotidiano tan normal en mi, las definiciones 2-esfera y 3-esfera eran erroneas. Para definir la 2 esfera se utiliza el espacio de 3 dimensiones (x, y, z) generando una superficie sobre la que podemos dar un punto con tan solo dos coordenadas (theta, phi ó latitud y longitud son dos pares de ellas). La definición que teníamos de 2-esfera (x²+y²=1) ilustraría una 1-esfera, que no es otra cosa que una circunferencia. Valga el error para observar como, al igual que una 1-esfera no encierra una 2-esfera (aunque tanto el ciruclo como la esfera sean superficies), una 2-esfera no encierra una 3-esfera, aunque esta sea un objeto en 3D (pero no un volumen representable).

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enviado por Sergio @ 9:48 p. m.
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¿Cómo de grande es el infinito?

Si ayer hablábamos de la cantidad de números primos y decíamos que estos eran infinitos, cabe también preguntarse cómo de grande es ese infinito. Cómo el número 4 no es primo, sabemos que al menos la cantidad de números enteros es una unidad mayor que la cantidad de números primos, es más ayer vimos que cuanto más grande es el número, más dificil es encontrar un número primo cercano a él, por lo que podríamos deducir que hay muchos más números enteros que números primos. Y sin embargo hay los mismos.

Galileo expuso algo similar con los cuadrados perfectos, como no, en forma de diálogo:

SALVIATI.- Este tipo de dificultades proviene de los razonamientos que hacemos con nuestro entendimiento finito al tratar con los infinitos, otorgándoles los mismos atributos que damos a las cosas finitas y limitadas, lo cual pienso que es improcedente puesto que creo que las propiedades de mnayor, menor e igual no convienen a los infinitos de los que no se puede decir que uno es mayor, menor o igual a otro. Como pruebo de ello, me viene a la memoria un argumento que propondré para ser más claro bajo la forma de interrogaciones al señor Simplicio, que ha sido quien ha puesto la dificultad.
Supongo que sabéis perfectamente cuáles son los números cuadrados y los no cuadrados.
SIMPLICIO.- Sé perefectamente que un número cuadrado es el que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo; así, cuatro, nueve, etc. son números cuadrados, engedrados el uno por el número dos y el otro por el número tres al multiplicarse por sí mismos.
SALVIATI.- Muy bien. Sabéis también que así como los productos se llaman cuadrados, los que los producen, es decir, los números que se multiplican, se llaman lados o raíces. En cuanto a los números que no son engendrados por la multiplicación de un número opr sí mismo, no son, naturalmente, cuadrados. Por tanto, si yo digo que todos los números, incluyendo cuadrados y no cuadrados, son más que los cuadrados solos, enunciaré una proposición verdadera, ¿no es verdad?
SIMPLICIO.- Evidentemente.
SALVIATI.- Si continuo preguntando cúantos son los números cuadrados, se puede responder con certeza que son tantos cuantas raíces tengan, teniendo presente que todo cuadrado tiene su raíz y toda raíz su cuadrdo; no hay, por otro lado, cuadrado que tenga más de una raíz ni raíz con más de un cuadrado.
SIMPLICIO.- Así es.
SALVIATI.- Pero si pregunto cuántas raices hay, no se puede negar que haya tantas como números, ya que no hay ningún número que nosea raíz de algún cuadrado. Estando así las cosas, habrá que decir que hay tantos números cuadrados como números, ya que son tantos como sus raices, y las raices son todos los números. Decíamos al principio, sin embargo, que todos los números son muchos más que todos los cuadrados, puesto que la mayoría de ellos no son cuadrados. Incluso el número de cuadrados va disminuyendo siempre a medida que nos acercamos a números más grandes, ya que hasta cien hay diez números cuadrados, que es tanto como decir que sólo la décima parte son cuadrados; y en diez mil sólo la centésima parte son cuadrados, mientras que en un millón la cifra ha descendido a la milésima parte. Con todo, en un número infinito, si pudiéramos concebirlo, habría que decir que hay tantos cuadrados como números en total.
SAGREDO.- En este caso, ¿qué es lo que se deduce?
SALVIATI.- Yo no veo que haya otra cosa que decir si no es que infinitos son todos los números, infinitos los cuadrados, infinitas sus raíces; la multitud de los cuadrados no es menor que la de todos los números, ni ésta mayor que aquella; y finalmente, los atributos de mayor, menor e igual no se aplican a los infinitos, sino sólo a las cantidades finitas [terminate].(...)

Supongo que ha quedado suficientemente claro. Pero ¿hasta que punto tenía Galileo razón? ¿Qué pasa con los números reales? ¿También hay tantos reales como naturales? Esta vez fue Cantor el encargado de hacernos ver que no es así:

Supongamos que los números reales que hay entre 0 y 1 se pudiesen enumerar. Puesto que cada uno de ellos admite un desarrollo decimal, se les podría representar como una colección finita del tipo


Si la totalidad de los números reales fuese numerable, todos ellos se hallarían en dicha lista. No habría más que éstos.
Consideremos, sin embargo, el número real siguiente:

0,b₁b₂b₃b₄b₅...b_n...

construido de la manera siguiente: b_i=2 si a_ii=1 y, en cambio b_i=1 en cualquier otro caso.
Obtenemos entonces un número real que difiere de todos y cada uno de los números de la lista anterior, porque difiere de cada uno de ellos en el término del desarrollo decimal que se halla en la diagonal. En consecuencia, la lista anterior no contiene todos los números. Luego hay más números reales que cualquier cantidad numerable de ellos.

Con lo que se deduce que efectivamente el infinito de los números reales es mayor que el infinito de los números naturales.
Claro, que todavía queda algo por ver, y es la hipótesis del continuo. El número de elementos de un conjunto se llama cardinal, de manera que hemos visto que el cardinal del conjunto de los números primos, es igual al cardinal del conjunto de los números enteros, pero menor que el cardinal de los números reales (¡aunque ambos cardinales sean infinito!).

La idea que hay detrás de la hipótesis del continuo es demostrar que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea mayor que el de los enteros, pero menor que el de los reales. Para ver la formulación exacta pasen por aquí.

Se dice que Hilbert murió loco intentado demostrar esta hipótesis, así que yo ni me molesto en intentar enteder lo que hay detrás. Si alguien tiene interés, puede seguir estos dos vínculos:

El problema del continuo antes de Cohen.
El problema del contunuo después de Cohen.

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enviado por Sergio @ 11:40 a. m.
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¿Cuántos números primos hay?

Ni más ni menos que infinitos. Y la demostración ya tiene años, ni más ni menos que de Euclides (325 adC) - (265 adC).

La demostración es bien sencilla:

Sean p₁=2 < p₂=3 < ... p_r todos los números primos.
Entonces podemos calcular P como:
P=p₁p₂p₃...p_r+1
Entonces tenemos dos opciones, o bien P es un número primo, con lo cuál tendríamos uno nuevo que no estaba en los r primeros, o P es divisible por un número primo p.
Este número primo p no puede estar entre los p₁p₂p₃...p_r porque de ser uno de estos, dividiría a P-p₁p₂p₃...p_r=1 lo cuál solo sería posible de ser p=1, lo que nos llevaría a que P es primo. Puesto que p no puede ser ninguno de los incluidos en la lista, es un nuevo número primo. Como la única condición impuesta es que la lista de los r primos sea finita, y hemos concluido que esto no puede ser, se deduce que existen infinitos números primos.

[demostración en inglés]

Pero la pregunta entonces no es cuantos, así sin más. La pregunta interesante es ¿cuántos números primos hay menores de un entero dado N. La respuesta a esta pregunta, por supuesto, no es tan sencilla como la anterior, aunque si es como poco, igual de interesante.

La historia entera se puede encontrar aquí, pero valga como resumen decir que la función pi(x) que da la cantidad de números primos menores que x sigue las siguientes gráficas:

Para x=100:




Para x=1000:




Para x=1000000:




Aunque lo que realmente se calcula no es la cantidad de números primos menores que un número dado, sino la densidad de números primos, estos es, el valor de la función pi(x) entre (x), obteniendo una gráfica logarítmica:





Se han buscado muchas fórmulas que aproximan esta gráfica, pero para lo que aquí nos ocupa estamos servidos. Si alguien quiere más, puede consultar el original, con toda la historia aquí.

Y bueno, si quereis ver cuales son esos números primos, en fin, teneis el oso que caga números primos, tal cuál.

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enviado por Sergio @ 10:53 p. m.
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Patos, diablos y ecuaciones de Pell

Así empieza el este pdf que... como explicarlo. Nada, mejor lo leen.

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enviado por Sergio @ 10:56 p. m.
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Números primos de Mersenne, números perfectos y números amigos.

Ya en su día echamos un ojo a los números primos gemelos, y explicamos en que consistían. Hoy vamos a empezar por los números amigos.

Se dice que dos números son "números amigos" cuando son enteros positivos y la suma de los divisores de uno es igual al otro y viceversa. Por ejemplo: 220 y 284 son amigos puesto que:

• los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110
• los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142
• 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
• 1+2+4+71+142=220

Los primeros pares de números amigos son (220, 284), (6232, 6368), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056), que como se puede ver crecen de manera exagerada lo que indica, como todos supoíamos ya, que en las matemáticas no hay mucha amistad.

Sigue leyendo sobre números

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enviado por Sergio @ 2:43 p. m.
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Dados y música

Einstein dijo aquello de "el buen Dios no juega a los dados" (que luego resulta que sí juega, pero eso es otra historia). Mozart sin embargo no dijo nada, el directamente jugaba con ellos. De todos es sabido la genialidad del compositor austriaco, pero la obra que nos ocupa hoy, pese a ser otra genialidad no es demasiado conocida. Estoy hablando de Musikalisches Würfelspiel (Juego de dados musical) K516f, de 1787, que es una especie de Minueto y Trio. En esta obra Mozart no compuso una obra tal cual, sino que compuso 272 compases independientes, y los ordenó en tablas. El juego consiste en que los compases a tocar se eligen tirando dados. Pasamos primero por la tabla del Minueto y tiramos dos dados, sumamos los resultados y tomamos de la primera columna, el compas situado en la fila numerada con el resultado. Ya tenemos nuestro primero compás. Y seguimos así hasta la columna 16 en la que conseguimos el último compás del Minueto. En la tabla del Trio el procedimiento es identico pero solo hace falta un dado para cada columna. Siguiendo la estructura de Minueto y Trio (Minueto, repetición del Minueto, Trio y Minueto otra vez) tenemos así una obra completa.

Sin embargo, ¿cuales son las implicaciones de esto? Solo hay que echar unas pequeñas cuentas.
Si tenemos 16 columnas con 11 filas tenemos 11¹⁶ Minuetos distintos, lo que viene a ser cuarenta y cinco mil novecientos cuarenta y nueve billones setecientos ventinueve mil ochocientos sesenta y tres millones quinientos setenta y dos mil ciento sesenta y uno (45949729863572161). Los trios son menos, "apenas" 6¹⁶ que son dos billones ochocientos ventiunmil cientonueve millones novecientos siete mil cuatrocientos cincuenta y seis (2821109907456). Pues bien esto por separado, pero en total tenemos que multiplicar ambas cifras (queda propuesto como ejercicio para el amable lector) lo que da cantidades desorbitadas de piezas.

El problema es que la unidad formal de la pieza se resiente un poco, no hay recursos imitativos ni nada avanzado, aunque armonicamente está bien, las obras que se obtienen aquí no son grandes maravillas.

Las tablas y algunas obras se pueden obtener aquí o aquí.

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enviado por Sergio @ 10:46 p. m.
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El último teorema de Fermat

"Cubum autem un duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum patestatem in duos euisdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet."
" Es imposible dividir un cubo en suma de otros dos o un bicuadrado en otros dos bicuadrados, en general una potencia cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa pero en este margen es demasiado estrecho para contenerla."

Esto es lo que ponía en el margen del "Arithmetica" que estaba estudiando Fermat y lo que tantos quebraderos de cabeza dieron a matemáticos durante años.

La idea viene a ser que no se cumple la relación
si x, y, a son enteros y n es mayor que 2 (para n=2 tenemos el teorema de Pitágoras que lo cumple muy bien).

Esto que Fermat aseguraba poder demostrar de manera maravillosa, resultó ser un problema que no se ha demostrado hasta 1995, cuando Andrew Wiles publicó la demostración en Annals of mathematics. El camino hasta esta demostración fue largo y todos los grandes pasaron por ella. Como muestra, decir que Cauchy o Legendre, aunque demostraron que esa igualdad no era cierta para un concreto n dado, no consiguieron hacer nada con el teormea original. Incluso cuando le propusieron a Hilbert que intentara demostrarlo, este rechazó la invitación alegando que no quería perder dos años de su vida para no conseguir nada.

Al final, Wiles presentó su demostración, pero no la publicó en ninguna revista, sino que la presentó en un congreso en 1993, dejando asombrado a todo el público y haciendo saltar la noticia inmediatamente a los medios de comunicación. Cuando remitió su demostración (de 98 páginas) a Annals of mathematics, estos siguieron el proceso común, y la reenviaron a otros expertos en el tema para que comprobaran que efectivamente estaba bien. Este experto resultó ser un amigo y conocido de Wiles, con quien discutió la demostración durante bastante tiempo. Wiles le fue explicando poco a poco las 98 páginas, sin embargo, llegaron a un punto en el que las explicaciones de Wiles no convencían lo suficiente, ¡la demostración estaba mal!

Andrew Wiles lo pasó mal durante una temporada, había vendido al mundo una demostración del último teorema de Fermat que resultaba ser erronea. Sin embrago, consiguieron salir del apuro y corregir ese pequeño fallo.

Respecto a la demostración tan maravillosa que había encontrado Fermat, hay diversas opiniones, puede ser que fuera un farol para quedar bien, después de todo estaba en las últimas y nadie le iba a pedir explicaciones después de muerto, muchos opinan que se equivocó fuera lo que fuera lo que pensaba, y hay otros que siguen buscando demostraciones sencillas y elegantes del teorema. Sea como sea, Wiles fue el primero.

Para más información sobre esta historieta, aquí o aquí.

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enviado por Sergio @ 5:39 p. m.
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Los puentes de Konigsberg

¿Ven el mapa que hay ahí pintado? ¿Que es muy pequeño? Pues nada, una versión más grande si hacen clic en él. Eso que ven ahí es Konigsberg una ciudad de Prusia que ahora se llama Kaliningrado y está en Rusia. Como ven hay 7 puentes que unen las dos orillas del río y la isla. Ahora viene el acertijo: tienen que dar un paseo (imaginario) por Konigsberg de manera que pasen por todos los puentes una sola vez. ¿Sencillo, no? No hace falta ni siquiera que lleguen al mismo sitio, solo tienen que pasar por todos los puentes una sola vez.

La historia cuenta que este problema se lo estaban planteando los habitantes de la ciudad de los dichosos puentes y que nadie era capaz de encontrar el camino correcto, hasta que llamaron a Leonar Euler, el famoso matemático para que les resolviera el problema. Pues bien, Euler lo resolvió, vaya que si lo resolvió, encontró la solución general para este tipo de problemas que viene a ser la siguiente:

El problema tiene solución si de cada punto (en nuestro caso, cada porción de tierra) solo sale un número par de caminos (en nuestro caso, puentes) y además el punto de llegada será el mismo que el de salida.
Si hay dos puntos de los que sale un numero impar de caminos, también existe solución, pero llegaras a un punto distinto del de salida.
En cualquier otro caso, no hay solución.

¿Cual de estos tres es el caso de Konigsberg? Pues bien, según se ve en el dibujo, a la orilla norte (que sería uno de nuestros puntos) llegan 3 puentes (que equivaldrían a 3 caminos), a la isla llegan 5 puentes, a la orilla sur llegan 3 puentes y a la otra isla otros 3 puentes. Todos impares, asi que el problema no tiene solución.

Este problema es similar al que muchas veces se presenta en forma de "dibuja este dibujo sin pasar dos veces por la misma linea y sin levantar el lapiz del papel". Si alguna vez le plantean algo así, ya sabrá como resolverlo.

Y lo mejor de todo es que esto no es solo un acertijo más, los informáticos tienen estudian una cosa que son los grafos y que vienen a ser este tipo de esquemas, mientras que los matemáticos se dedican a la topología que tambiém tiene relación con este problema. Vamos, todo un dechado de virtud.

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enviado por Sergio @ 8:13 p. m.
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El juego de la vida

Este título tan poético para un post no es ni mucho menos lo que parece. El juego de la vida es un juego inventado por el matemático británico John Horton Conway en 1970. El juego, para cero jugadores, se desarrolla sobre una cuadrícula supuestamente infinita y tiene apenas 6 reglas muy sencillas.

1. En cada cuadrícula del tablero puede vivir un individuo.
2. Cada cuadrícula del tablero puede tener hasta 8 vecinos (sí, las esquinas cuentan).
3. En una casilla vacía con exactamente 3 vecinos vivas "nacerá" un individuo (al turno siguiente habrá un individuo en ella).
4. Una casilla opcupada con 2 o 3 vecinos seguirá ocupada.
5. Si el número de vecinos de una casilla ocupada es 1, entonces el individuo de esa casilla "morirá por soledad".
6. Si el número de vecinos de una casilla ocupada es mayor que 3, entonces el individuo de esa casilla "morirá por superpoblación".

Pues bien, ¿qué se puede hacer con estas reglas? Para empezar tenemos estructras que se mantienen siempre igual, en el que nunca muere ni nace nadie, la más sencilla de ella son los cuadrados de 2x2 casillas. También tenemos estructuras que "parpadean" como ocurre con el caso de 3 cuadrados seguidos. Después aparecen las llamadas "naves espaciales" que son estructuras que mantienen su forma pero se desplazan por el tablero, entre estas el más sencillo es el "deslizador". Otras estructuras que se mueven por el tablero son las "locomotroas" pero estas dejan un rastro a su paso. Y también tenemos las llamadas pistolas, que son estructuras que cada cierto tiempo "disparan" una nave espacial.

Las posibilidades son increibles, y más increible aún es que hay gente que se dedica a estudiar estas cosas y demuestra que tal estructura tiene tal propiedad o que esta estructura es la más pequeña que cumple estos requisitos...

Yo recomiendo que lo prueben, en versión java script si no quieren instalar nada o pueden bajarlo de aquí si quieren experimentar un poco más, además, en la versión en java pueden cargar numerosas estructuras y muchas más se pueden encontrar en archivos para la versión descargable.

Y todo esto un poquito mejor explicado está en la wikiepdia.

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enviado por Sergio @ 3:25 p. m.
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Primos gemelos

Para quién no le apetezca navegar recolectando información, empezaré describiendo un poco que es eso de los números primos gemelos y porque es interesante precisamente ahora.

Los primos gemelos son números primos que estan a distancia de 2, para entendernos, las siguientes parejas cumplen este requisito:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421)...

Pues bien, hasta hace unos meses se creía que existen infinitas de esas parejas. Una idea aproximada de porque pueden existir infinitas, es que la suma de los inversos de estos numeros converge a la constante de Brun



por lo que si el inverso converge, los numeros tal cual divergeran.

En mayo de este año, R.F. Arenstorf presentó un paper en el que desmotraba que efectivamente existían infinitas de esas parejas (no intenteis abrirlo, porque el autor lo ha retirado). Sin embargo, y eh aquí la noticia, el matemático francés G. Tenenbaum, ha encontrado un fallo en dicha demostración (especificamente en el lema 8 en la pagina 35). Aún así, la comunidad científica espera que la demostración pueda ser corregida.

Actualizado.- Resulta que en su día ya había conseguido yo la demostración, asi que aquí la dejo, a ver si alguien es capaz de corregir el error (o siquiera localizarlo).

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enviado por Sergio @ 2:07 p. m.
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