a ojo de buen cubero

¿Cómo de grande es el infinito?

Si ayer hablábamos de la cantidad de números primos y decíamos que estos eran infinitos, cabe también preguntarse cómo de grande es ese infinito. Cómo el número 4 no es primo, sabemos que al menos la cantidad de números enteros es una unidad mayor que la cantidad de números primos, es más ayer vimos que cuanto más grande es el número, más dificil es encontrar un número primo cercano a él, por lo que podríamos deducir que hay muchos más números enteros que números primos. Y sin embargo hay los mismos.

Galileo expuso algo similar con los cuadrados perfectos, como no, en forma de diálogo:

SALVIATI.- Este tipo de dificultades proviene de los razonamientos que hacemos con nuestro entendimiento finito al tratar con los infinitos, otorgándoles los mismos atributos que damos a las cosas finitas y limitadas, lo cual pienso que es improcedente puesto que creo que las propiedades de mnayor, menor e igual no convienen a los infinitos de los que no se puede decir que uno es mayor, menor o igual a otro. Como pruebo de ello, me viene a la memoria un argumento que propondré para ser más claro bajo la forma de interrogaciones al señor Simplicio, que ha sido quien ha puesto la dificultad.
Supongo que sabéis perfectamente cuáles son los números cuadrados y los no cuadrados.
SIMPLICIO.- Sé perefectamente que un número cuadrado es el que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo; así, cuatro, nueve, etc. son números cuadrados, engedrados el uno por el número dos y el otro por el número tres al multiplicarse por sí mismos.
SALVIATI.- Muy bien. Sabéis también que así como los productos se llaman cuadrados, los que los producen, es decir, los números que se multiplican, se llaman lados o raíces. En cuanto a los números que no son engendrados por la multiplicación de un número opr sí mismo, no son, naturalmente, cuadrados. Por tanto, si yo digo que todos los números, incluyendo cuadrados y no cuadrados, son más que los cuadrados solos, enunciaré una proposición verdadera, ¿no es verdad?
SIMPLICIO.- Evidentemente.
SALVIATI.- Si continuo preguntando cúantos son los números cuadrados, se puede responder con certeza que son tantos cuantas raíces tengan, teniendo presente que todo cuadrado tiene su raíz y toda raíz su cuadrdo; no hay, por otro lado, cuadrado que tenga más de una raíz ni raíz con más de un cuadrado.
SIMPLICIO.- Así es.
SALVIATI.- Pero si pregunto cuántas raices hay, no se puede negar que haya tantas como números, ya que no hay ningún número que nosea raíz de algún cuadrado. Estando así las cosas, habrá que decir que hay tantos números cuadrados como números, ya que son tantos como sus raices, y las raices son todos los números. Decíamos al principio, sin embargo, que todos los números son muchos más que todos los cuadrados, puesto que la mayoría de ellos no son cuadrados. Incluso el número de cuadrados va disminuyendo siempre a medida que nos acercamos a números más grandes, ya que hasta cien hay diez números cuadrados, que es tanto como decir que sólo la décima parte son cuadrados; y en diez mil sólo la centésima parte son cuadrados, mientras que en un millón la cifra ha descendido a la milésima parte. Con todo, en un número infinito, si pudiéramos concebirlo, habría que decir que hay tantos cuadrados como números en total.
SAGREDO.- En este caso, ¿qué es lo que se deduce?
SALVIATI.- Yo no veo que haya otra cosa que decir si no es que infinitos son todos los números, infinitos los cuadrados, infinitas sus raíces; la multitud de los cuadrados no es menor que la de todos los números, ni ésta mayor que aquella; y finalmente, los atributos de mayor, menor e igual no se aplican a los infinitos, sino sólo a las cantidades finitas [terminate].(...)

Supongo que ha quedado suficientemente claro. Pero ¿hasta que punto tenía Galileo razón? ¿Qué pasa con los números reales? ¿También hay tantos reales como naturales? Esta vez fue Cantor el encargado de hacernos ver que no es así:

Supongamos que los números reales que hay entre 0 y 1 se pudiesen enumerar. Puesto que cada uno de ellos admite un desarrollo decimal, se les podría representar como una colección finita del tipo


Si la totalidad de los números reales fuese numerable, todos ellos se hallarían en dicha lista. No habría más que éstos.
Consideremos, sin embargo, el número real siguiente:

0,b₁b₂b₃b₄b₅...b_n...

construido de la manera siguiente: b_i=2 si a_ii=1 y, en cambio b_i=1 en cualquier otro caso.
Obtenemos entonces un número real que difiere de todos y cada uno de los números de la lista anterior, porque difiere de cada uno de ellos en el término del desarrollo decimal que se halla en la diagonal. En consecuencia, la lista anterior no contiene todos los números. Luego hay más números reales que cualquier cantidad numerable de ellos.

Con lo que se deduce que efectivamente el infinito de los números reales es mayor que el infinito de los números naturales.
Claro, que todavía queda algo por ver, y es la hipótesis del continuo. El número de elementos de un conjunto se llama cardinal, de manera que hemos visto que el cardinal del conjunto de los números primos, es igual al cardinal del conjunto de los números enteros, pero menor que el cardinal de los números reales (¡aunque ambos cardinales sean infinito!).

La idea que hay detrás de la hipótesis del continuo es demostrar que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea mayor que el de los enteros, pero menor que el de los reales. Para ver la formulación exacta pasen por aquí.

Se dice que Hilbert murió loco intentado demostrar esta hipótesis, así que yo ni me molesto en intentar enteder lo que hay detrás. Si alguien tiene interés, puede seguir estos dos vínculos:

El problema del continuo antes de Cohen.
El problema del contunuo después de Cohen.

Etiquetas: Cosas de números

enviado por Sergio @ 11:40 a. m.