Cuando en el instituto nos cuentan que la materia está formada por protones, neutrones y electrones, se quedan un poco cortos, no es que nos engañen, pero hay algo más allá. Hoy día se cree que los componentes fundamentales de la materia son los quarks, pero no se sabe si los quarks están formados por algo más o son realmente fundamentales e indivisibles.
Una curiosa propiedad de los quarks es la de confinamiento y libertad asintótica. Me explico, los quarkas se comportan como si estuvieran atados por gomas elásticas, de manera que cuando están juntos pueden moverse libremente y apenas hay fuerzas entre ellos, pero cuando se alejan, empiezan a sentir una fuerza que los atrae, mayor cuanto más se alejen. Lo curioso de esta "goma" que los une es que es "mágica" en el sentido de que en cada extremo siempre tiene que haber un quark (también podemos tener gomas de tres extremos, y el resultado sería parecido, aunque no igual). ¿Cuál es el resultado de esta curiosa propiedad? En apariencia ninguno, hasta que tiramos mucho de un par de quarkas y los alejamos tanto que la goma se rompe, de manera que aparecen dos nuevos extremos donde antes la goma estaba unida. El resultado es que ahora tendremos dos nuevos quarks, uno acompañando a cada uno de los dos primeros. Esto es así, y de hecho nunca se ha conseguido observar un quark que no esté acompañado.
Lo curioso, es pensar que pasaría si la naturaleza se comportara así en aspectos macroscópicos. Tenemos dos piedras, quitamos una y ¿cuántas nos quedan? pues dos
2-1=2
Realmente estoy hubiera complicado las cosas a la hora de crear las matemáticas ¿no creeis?
Jim Carrey: I was just reading this incredible paper on the stochastic phase-shifting of the parametrically-driven electron in a Penning trap; and apparently, a bistability arises dynamically in the specific parametrically-driven systems, because the phase ψ of the electron’s steady-state oscillation can either have the two values separated by π.
(…)
Conan O’Brien: You know, it’s funny, what shocks me about an electron in a Penning trap is that most amplitude collapses are accompanied by a phase flip. Given that the rate of escape from the trap depends exponentially on an activation energy E as the diffusion constant D approaches Tn and ρ approaches ε-E/D.
JC: Absolutely. No question there.
Max Weinberg: I don’t know about that, Conan. Have you considered that the parametric driving force excites a nearly-resonant electron oscillation at the drive frequency, ωd/3=ωz+ε? It’s a classic example of the period-doubling that occurs when a linear oscillator is strongly driven.
JC: Max. Did you just say that ωd/3=ωz+ε?
MW: Yeah.
CB: (Laughs). It’s actually ωd/2=ωz+ε! Wow, Max. Max, you know nothing about quantum physics!
MW: You’re right.
A veces tengo la impresión de que mis profesores de universidad hacían como estos simpáticos personajes para tomarnos el pelo... Por si alguien quiere leerse el trabajo original, parece que están hablando de esto.
Cuerpo negro: Planck y la cuantización de la energía
Habíamos dejado a nuestro amigo Max Planck con una solución al problema del cuerpo negro, pero una solución que a él mismo no le convencía. Lo que pasaba es que su fórmula dependía mucho de los experimentos y no explicaba nada de la física subyacente, necesitaba encontrar un razonamiento teórico para esa expresión que tan bien funcionaba.
Y allá fué, a pelearse con la teoría al más bajo nivel para intentar comprender la naturaleza de dicha radiación y poder deducir que estaba pasando. Hay que decir que Planck había pasado muchos años de su vida dedicado a la termodinámica y era una disciplina que dominaba sin lugar a dudas. Así, su cálculo sería más orientado a la física estadística y termodinámica, en vez de basarse fundamentalmente en el electromagnetismo como hicieron Rayleigh y Jeans, y para ello quiso usar la última herramienta desarrollada por Boltzman, la definición matemática de entropía como
S=k ln Ω
Y allá fué, a calcular, suponiendo que en las paredes de su cavidad había diminutos resonadores armónicos que emitían la energía (¡y eso sin tener ni idea de la estructura del átomo!). Lo que pasa es que el cálculo se le comenzó a ir de las manos y tenía que simplificarlo, así que pensó:
En lugar de tener infinitos puntos que emiten cualquier energía, yo me tomaré N resonadores en las paredes de manera que cada uno de ellos emita una pequeña energía ε. Luego, cuando haya acabado con todo, podré hacer el límite con N tendiendo a infinito y con ε tendiendo a cero, y habré recuperado el problema original en continuo, salvando así el problema del cálculo.
¡Qué gran idea! Usó un pequeño truco matemático para solventar problemas de cálculo. Y así lo hizo, calculando calculando llegó al penútlimo paso, dedujo una fórmula para la radiación de cuerpo negro sin tener en cuenta los resultados experimentales, solo a partir de la teoría, y además tenía la misma forma que la que ya había deducido antes, así que era correcta, había resuelto el problema, había deducido la fórmula de la radiación del cuerpo negro a partir de principios físicos teóricos y lo mejor de todo, estaba bien. Ahora solo le quedaba el último paso, hacer los límites que mencionábamos antes y ya podría irse a dormir tránquilo y contento por un trabajo bien hecho.
Planck hizo los límites... ¡no puede ser! algo tiene que estar mal, ¿que pasa aquí?. Cuando hacía N infinito y ε cero toda la fórmula se iba al garete y se descomponía, pero no de cualquier manera, sino lo que era peor, la fórmula se convertía en la ley de Rayleigh-Jeans, con catástrofe ultravioleta incluida. Un desarrollo teórico perfecto y que funciona, que se va al garete en un solo paso, al tomar límites. Antes de los límites funciona a la perfección, después es un fracaso rotundo. La conclusión es inmediata, no se pueden tomar los límites.
Lo importante entonces es enteder que significan los límites. Por una lado tenemos que N, aunque sea muy grande, no es infinito, de donde se puede deducir que quizá haya pequeñas partículas (¿átomos?) que se encarguen de emitir la radiación, pero lo más importante es lo relativo a ε. La energía no se puede emitir en cantidades tan pequeñas como se quiera, muy pequeñas sí, pero siempre mayores que una cantidad concreta. Planck dándole vueltas, descubrió que la energía se emitía en pequeños paquetes de luz, que él llamo quanta, cuya energía es siempre un mútiplo entero de una constante conocida como constante de Planck.
h=6.626·10-34 J·s
Y es así, con este problema, como nace la cuántica. En realidad nació por más caminos que convergen siempre en el mismo y de los que iré hablando, pero hemos llegado al fin, desde que expliqué lo que es un cuerpo negro, a la cuantización de la energía.
El cálculo de Planck no es en absoluto complicado si se tienen nociones de cálculo, lo complicado fué, como la mayoría de las veces, desarrollarlo la primera vez. Si alguien está interesado, puedo recuperarlo de los apuntes.
En definitiva, bienvenidos al maravilloso mundo de la cuántica.
Como ya digimos en su día, la catástrofe ultravioleta era, hablando en claro, una auténtica putada para la ciencia. Llegan los mejores grupos experimentales del mundo a medir una distribución de frecuencias y les sale una cosa. Llegan los mejores teóricos a desarrollar las mejores teorías (teorías que por cierto, habían dado muchas alegrías explicando otras cosas), y no solo no consiguen explicar los resultados teóricos, sino que obtienen algo fuera de toda lógica. Si alguien pensaba que la física había llegado a su fin (y eso era lo que se pensaba), estaba muy equivocado).
Muchas veces, para resolver un problema de esta magnitud, no solo hay que ser listo, hay que estar bien relacionado, y eso le pasó a Plank. Plank se dedicaba bastante a esto de la estadística y la termodinámica, y era amigo de Rubbens, uno de esos experimentales con datos casi perfectos sobre el cuerpo negro. Estos dos personajes hablaban mucho entre ellos y tenían este problema muy discutido, de hecho, a Plank le llegaban las medidas de Rubbens antes que a nadie, porque no tenía que esperar a que las publicaran.
Lo interesante es que Plank, conociendo el trabajo de Rayleigh y Jeans, se dió cuenta de que era teóricamente impecable, y que de hecho, para frecuencias próximas a cero, se adecuaba perfectamente a los datos. Si solo hubiera algo que bajara la gráfica hacia cero según iban creciendo las frecuencias...
Y así, lo hizo, ni corto ni perezoso, tomó la fórmula de Rayleigh-Jeans, y le acopló una exponencial negativa. En realidad fué algo más complicado que esto, pero la idea básica era exactamente esa, tomar la explicación teórica que debería funcionar y añadirle un término para que funcione. A Plank le quedaron dos parámetros libres, unas constantes que solo tuvo que ajustar con los datos experimentales para dar una ecuación que se ajustaba a los datos teóricos.
Muchos dijeron que el desafío de Kirchoff se había resuelto, y tenían a Plank por un genio, pero él no estaba contento. La fórmula de Rayleigh-Jeans debería funcionar, el solo había hecho matemáticas, no física, necesitaba una explicación de por qué las cosas eran así. ¿Qué significaba el nuevo término que había introducido?
Hace mucho que no hablamos nada por aquí de la idea del cuerpo negro y de la revolución que supuso. La útlima vez dejámos planteado el desafío de Kirchoff, intentado buscar una ley matemática que se ajustara a la curva que daban los grupos experimentales.
No os creais que la gente pasó del tema, muchos lo intentaron y consiguieron "simplificar" el problema, pasando de tener que calcular la energía para cada longitud de onda a dar expresiones que nos dejaban el problema en calcular la densidad de energía en función de la frecuencia, vamos, había avances, pero no se conseguía la solución definitiva.
Hasta que al final Lord Rayleigh y Jeans hicieron el cálculo definitivo, tomaron la teoría de radiación electromagnética de Hertz junto con las ecuaciones de Maxwell y empezaron a calcular la densidad de energía en un cuerpo negro. Para simplificar ellos imaginaron el cuerpo como una caja de paredes metálicas, de manera que les fuera más fácil calcular. El problema es complicado, yo tuve que resolverlo en una clase de segundo de carrera y confieso que de aquella no me enteré muy bien de lo que hicimos, hacerlo por primera vez y dar con todos los pasos es un gran logro para la física y requiere de toda la potencia de las ecuaciones de Maxwell. Rayleigh y Jeans por fin lo consiguieron, llegaron a la ley matemática que obedecía las leyes de la física y expresaba la densidad de energía en el cuerpo negro. La gráfica de lo que les salía era algo así:
La gráfica de la Ley de Rayleigh-Jeans es la linea a trazos, la que indica lo que nos dice la teoría clásica, la linea continua son los resultados experimentales, pero entonces... ¿que demonios está pasando? Lo primero que uno piensa es que Rayleigh y Jeans se equivocaron, y bueno, sí, se equivocaron, pero no porque lo hicieran mal, eran buenos en su trabajo y su razonamiento era básicamente impecable. Es más, cuando la frecuencia era baja, alrededor del 0, su ley era exacta, el problema aparecía cuando la frecuencia crecía, en cuyo caso la densidad de energía se hacía más y más grande.
Esto es obvio que no puede ser, lo primero de todo es que la energía total, que quedamos que sería el area debajo de la curva, sería infinita, porque la curva no se cierra ni vuelve a aproximarse al eje. Así, cualquier tipo de horno o cuerpo negro nos abrasaría con solo mirarlo, porque estaría radiando una energía enorme.
Como el problema estaba para frecuencias altas, a este punto en la historia de la física se le conoce como la "catástrofe ultravioleta", nombre que explica a la perfección la frustración que se sentía en ámbitos académicos al comprobar como un problema, en apariencia sencillo, se resistía al cálculo más potente de la física. Algo fallaba... ¿¡¿¡pero qué!?!?
Ya sabemos lo que es un cuerpo negro, lo que no sabíamos hasta ahora es que dio un montón de quebraderos de cabeza a la gente. En el artículo anterior habíamos comentado que un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la radiación, por lo tanto no refleja nada, así que en teoría, no deberíamos verlo. Pero cuando llega un límite en el que no puede acumular más energía, aunque no la refleje, la emite, de manera que toda la radiación que absorbe la devuelve al medio. Es por tanto, un emisor perfecto. Con esto quiero decir que da igual que sea un cuerpo negro de carbono o de sodio, grande o pequeño, redondo o cuadrado… todos los cuerpos negros emiten radiación de la misma manera, en una gráfica como la siguiente.
En el eje X tenemos la longitud de onda (λ) a la que se emite la radiación, de manera que para ciertas longitudes serán rayos X, para otras ultravioletas, espectro visible o infrarrojos. Lo curioso es que como se ve, el cuerpo negro emite en todas y cada una de las longitudes de onda, lo único que para unas emite con más fuerza (mayor intensidad) que para otras, y además hay un máximo, en la gráfica, que se corresponde con la longitud de onda a la que el cuerpo negro emite con mayor intensidad.
Lo que tenemos que ver aquí, es que esta gráfica es experimental, nadie sabía de donde salía, los experimentadores llegaban al laboratorio, se construían su cuerpo negro y empezaban a medir: para esta λ ... esta intensidad, para otra un poco mayor... esta otra intensidad, y así hasta donde podían, unían los puntos con una línea y salía la gráfica de arriba, pero no sabían que física había en todo ello ¿por qué esa forma y no otra? Todo lo que se sabía de física se podía expresar de forma matemática, así que esto no iba a ser menos.
Es cierto que no se sabía que leyes físicas (en forma de matemáticas) dominaban la radiación del cuerpo negro, pero sí que se sabían dos cosas.
Una de ellas, es que cuanto más caliente estuviera el cuerpo negro, emitiría más energía. Parece bastante razonable, ¿no? Pero lo interesante es que esta energía era directamente proporcional a la temperatura elevado a la cuarta
E = σ · T4
Donde σ se conoce como "constante de Stephan-Bolzmann"
Este fenómeno se observaba bién en el laboratorio, pues dependiendo de la temperatura del cuerpo negro, salía una gráfica y otra, y la energía total es la suma de las energías para todas las longiudes de onda, es decir, la integral de la función que no conocían, o también el área bajo la curva, que esto sí se podía medir. Tenemos así la ley de Stefan-Boltman.
La otra relación matemática que conocían tenía que ver con la relación entre la temperatura y la longitud de onda a la que emite con mayor intensidad. Como ya comenté, la gráfica tiene un punto en el que alcanza su intensidad máxima, pues bien, la longitud de onda que se corresponde con esta intensidad máxima, multiplicada por la temperatura del cuerpo negro es constante, así, si la temperatura es baja, la longitud de onda se hará mayor para compensar y viceversa.
El cuerpo negro era a finales del siglo XIX una de las pocas cosas que quedaba por resolver, las ecuaciones de Maxwell y las leyes de newton lo podían explicar todo, así que solo había que darle vueltas al problema hasta encontrar una ley matemática que explicara por qué el cuerpo negro radiaba así. Y ni corto ni perezoso, fue Gustav Kirchoff el que planteó el desafío de encontrar esta ley, esta expresión matemática. A partir de entonces se le conocerá como “el desafío de Kirchoff”.
Empiezo aquí "la historia de la ciencia más grande jamás contada", bueno, puede que esa no sea una descripción muy acertada, pero cuando a uno le entusiasman estas cosas, es lo que piensa.
Esta historia nos la contó en clase de 2º de carrera el profesor Miguel A. Ferrero, y fué ahí donde la frase "el universo es inquieto" apareció en mi vida. Seguramente algún día lleguemos a ella, pero por ahora vamos a empezar desde el principio.
¿Por qué vemos las cosas? No me voy a meter en la fisilogía del ojo, pero sabemos que para que podamos ver algo, nos tiene que llegar radiación electromagnética, y no cualquiera, sino una de una longitud de onda que esté entre unos valores determinados (más datos aquí y aquí).
Lo interesante es que los cuerpos no emiten radiación de manera que podamos verla, al menos no todos, solo los que "dan luz" como las bombillas, las televisiones, el Sol... Podemos ver las cosas porque reflejan la luz que otros cuerpos emiten, así si no hay ni sol, ni bombillas, ni luna, ni nada de nada, no hay manera de ver ni la mano que pongamos delante de nuestros ojos, en definitiva, podemos ver las cosas porque reflejan la luz que otros cuerpos emiten.
Ahora bien, ¿qué pasa si calentamos un trozo de hierro? El hierro no emite luz, pero si lo vamos calentando, llegará un momento, en el que empiece a ponerse rojo, muy poco, tan poco que si no estamos a oscuras no nos daremos cuenta de que emite luz, pero si seguimos calentando quedará claro que sí, porque pasará de un rojo apagado a un rojo vivo, y depués puede llegar incluso al blanco (posiblemente a estas temperaturas ya se haya fundido, así que mejor tenerlo en un buen recipiente). Volveremos en otro capítulo sobre como cambia la luz con la temperatura, pero por ahora tiene que quedar claro que un cuerpo, solo por estar a una determinada temperatura, emite radiación. Supongo que todos alguna vez hemos visto, aunque solo sea en películas, una cámara térmica, pues esta cámara no es otra cosa que una cámara "normal" que en vez de "ver" la radiación que vemos las personas, "ve" la radiación en otras zonas del espectro (normalmente infrarrojos) y luego la analiza y con una pantalla, la convierte en luz visible para que nosotros podamos verla.
Bien, ya hemos visto que los cuerpos reflejan la luz (o cualquier tipo de radiación, para ser más exactos), y también emiten radiación dependiendo de su temperatura. Solo nos queda por explicar un concepto, la absorción. Si tenemos frío, podríamos ponernos cerca de un fuego, de una estufa o incluso de una bombilla para entrar en calor, ¿no? Esto es precisamente, porque emiten radiación y tienen una temperatura diferente de la nuestra, con lo cuál, absorbemos la energía que nos llega para entrar en calor. Si, es cierto que también reflejamos parte de esa radiación, pero otra parte la absorbemos y seguiríamos absorbiendo, en condiciones ideales, hasta alcanzar un equilibrio térmico, pero entonces arderíamos nosotros y no sería bueno.
Pues ya está, ya tenemos todo y ahora soy hay que darse cuenta de una cosa. La energía ni se crea ni se destruye, así que, en el caso de estar en equilibrio térmico, la energía que le llega a un cuerpo, tiene que ser igual a la que salga de él, y repito, esto es porque estamos en equilibrio y el cuerpo no puede almacenar más energía. Es como una jarra, si está llena, el agua que le echas es igual a la que se sale, no hay más que eso.
¿Qué nos queda? Pues que energía incidente es igual a la energía absorbida más la energía reflejada.
Ei=Eref+Eabs
Ahora pensemos en un cuerpo, que no refleje nada de luz, algo que todo lo que le llega lo absorbe (y no, no estoy hablando de agujeros negros). Por ejemplo supongamos un agujero en una cavidad. Toda la energía que llegue al agujero entrará dentro de la caja y se quedará por ahí rebotando, así que idealmente, el agujero (¡ojo!, no la caja) se comporta como algo que absorbe toda la radiación y no refleja nada.
¿Y esto para qué? Pues porque hemos quitado un término de la igualdad, ahora toda la radiación que le llega se absorbe, y como estamos en el equilibrio, es emite, pero no hay radiación reflejada. Esto es lo que se conoce como un "cuerpo negro" (que ya mencionamos en el artículo de los Premios Nobel de Fisica 2006).
Eref=0 Ei=Eabs=Ee
En definitiva, podemos idear un experimento en el laboratorio, en el que tengamos un cuerpo, en equilibrio térmico con el ambiente, y al que toda la radiación que le llegue, la absorberá y la volverá a emitir. Si esto ha quedado claro, me doy satisfecho por hoy.
A raíz de los últimos experimentos hay un poco de revuelo sobre la teleportación. ¿Acabaremos usando el teletransporte como en "Star Trek" o en "La mosca"?
Pues por lo que sabemos ahora, no. La cuestión está en que el teletransporte en la ciencia ficción puede tener que ver más con la relatividad espacial que con la cuántica, así que no tenemos que desesperar todavía, aunque la teleportación cuántica no es la solución.
¿Cómo funciona? Bueno, en realidad es complicado y hay que tener conocimientos previos, o al menos una idea clara de la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica, pero espero poder explicar lo que yo se con un pequeño ejemplo. Supongamos que Alice tiene un folio con la siguiente figura:
Pues bien, quiere teletransportarle a Bob este dibujo. Para ello necesitan un par de folios mágicos. Son mágicos en el sentido cuántico en el que son dos partículas entrelazadas. Para los electrones significa que cuando yo miro uno, si tiene spin +1, el otro tendrá -1, y viceversa, y siempre ocurre eso, porque son "mágicos", pero de la naturaleza del entrelazamiento ya hablaremos en otro momento. Ahora basta con saber que lo que le pase a uno, el otro lo siente de alguna manera.
Pues bien, de ese par de folios mágicos, uno lo tiene Alice y el otro le llega a Bob. Alice hace un experimento con su folio mágico y su dibujo y estos dos se juntan de una manera rara. Pueden pasar cuatro casos:
Y lo que es más importante, en el folio en el que estaba el dibujo, ahora ya no está, no sabemos muy bien lo que hay, pero ha cambiado. Y mientras tanto, en folio mágico de Bob, como hemos hecho algo en el de Alice, también ha cambiado, y ahora tiene la el dibujo... o casi, porque a Bob le pueden haber llegado alguna de estas 4 cosas.
Como se ve, son todos muy parecidos, para pasar de una a otra solo hay que girarlo o ver la imagen en un espejo. Pero Bob NO SABE cuál es el que dibujó Alice al principio, así que todavía no hemos conseguido teletransportar el original, porque Bob necesita saber como girar su dibujo para que sea igual al que tenía Alice al principio. Lo que sí sabe Bob, es que si a Alice le quedan los dos folios unidos por el lado grande, no tiene que hacer nada, si a Alice le quedan unidos por el lado corto, tiene que hacer una simetría respecto al lado grande, si a Alice le quedan unidos por lados distintos, la simetría tiene que ser por el lado corto, y si a Alice le quedan los dos folios cruzados, solo tiene que girar la imagen 180º. En resumen, si Bob sabe que obtuvo Alice en su experimento con los dos folios, puede modificar la imagen que ha aparecido mágicamente en su folio mágico para que sea igual a la que tenía Alice y si Bob no tiene manera de saberlo, la teleportación está incompleta.
Pero entonces… exacto, la gracia del asunto es que el método no sirve para enviar información instantanea (lo que violaría algún que otro principio de la física), porque Alice le tiene que mandar un mensaje "no-mágico" (clásico) a Bob para decirle que salió de su experimento. De hecho, en el experimento real, por cada bit cuántico teleportado, hay que transmitir dos bits clásicos para completar el proceso.
¿Lo bueno de esto? Que los bits clásicos no tienen información sobre el cuántico, lo que quiere decir que aunque alguien copie el mensaje, si no ha tenido acceso a los "folios mágicos" y los ha trucado, no tiene acceso a la información y el mensaje es seguro, de manera que como canal de información, no tiene precio.
La gráfica de la Ley de Rayleigh-Jeans es la linea a trazos, la que indica lo que nos dice la teoría clásica, la linea continua son los resultados experimentales, pero entonces... ¿que demonios está pasando? Lo primero que uno piensa es que Rayleigh y Jeans se equivocaron, y bueno, sí, se equivocaron, pero no porque lo hicieran mal, eran buenos en su trabajo y su razonamiento era básicamente impecable. Es más, cuando la frecuencia era baja, alrededor del 0, su ley era exacta, el problema aparecía cuando la frecuencia crecía, en cuyo caso la densidad de energía se hacía más y más grande.
