Bueno, esto va a ser un poco complicado así que no os despisteis, ¿vale?
¿Cuál es la distancia más corta entre dos puntos? La respuesta típica es "la linea recta", pero... ¿y si "la linea recta" no existe?. Por ejemplo, dibujamos dos puntos sobre una esfera
Para trazar el camino más corto entre A y B, no podemos dibujar una linea recta porque solo podemos pintar encima del balón, nos quedará una curva parecida a esta
Lo interesante es que esta curva está en el plano que contiene a A, a B y al centro de la esfera, y para unir dos puntos cualesquiera de una esfera siempre se cumple esto, que la curva está en ese plano, con lo cuál es facil comprobar que siempre pertenece a una de las infinitas circunferencias máximas que se pueden dibujar sobre la esfera, es decir, circunferencias que tienen el mismo radio que la esfera.
Estas lineas que dibujan el camino más corto se llaman geodésicas, y se definen precisamente así, como la curva que minimiza la distancia entre dos puntos. Para espacios planos, las geodésicas son lineas rectas, pero para espacios curvos, como la esfera, no lo son. Para calcular si una superficie es curva o no, hay que usar lo que se conoce como "Curvatura de Gauss", aunque claro, no es algo precisamente fácil y yo ya no me acuerdo de como se hacía. Lo que sí puedo explicar es una de las consecuencias más directas de la curvatura.
Tomemos una flecha (un vector) en el punto A y movámoslo a lo largo del ecuador, sin inclinarlo más ni más ni menos, siempre tangente a la esfera, hasta llegar al punto B, justo en el otro extremo. Ahora hagamos lo mismo, pero en vez de deslizar el vector a lo largo del ecuador, deslicémoslo por un meridiano pasando por el polo hasta llegar a B. ¿Resultado? el vector que al principio era el mismo ha cambiado y depende de por qué camino lo deslicemos (lo transportemos paralelamente), puede seguir apuntando hacia arriba o darse la vuelta. Esto ocurre por tener una superficie curva, si tuvieramos una superficie plana, no ocurriría.
Una figura es plana si su curvatura de Gauss es nula, lo interesante es que para ello no siempre hay que calcular el número, basta con ver si se puede desplegar dicha superficie para amoldarla a una hoja de papel, a un plano. Comentamos en su día, hablando de los mapas sobre poliedros, que una esfera no se puede representar sobre un plano sin crear distorsiones, por eso los problemas a la hora de crear mapas del mundo. Sin embargo, la semana pasada construíamos cuatro figuras enrrollando hojas de papel, a saber, el cilindro, el toro, la banda de Möbius y la botella de Klein. Pues sí, ahora sabemos que esas figuras se pueden considerar planas, o lo que es lo mismo, tienen curvatura de Gauss cero.
Por su alguien se lo pregunta, la esfera tiene la misma curvatura de Gauss en todos sus puntos (es lo que tienen estas cosas, que muchas veces depende de donde mires) y es igual a uno. Bonito, ¿no? Pues para terminar vamos a crear una pseudoesfera. Una pseudoesfera no es otra cosa que una superficie, que tiene la misma curvatura de Gauss en todos sus puntos, pero no es 1, sino -1, sí curvatura negativa.
Vamos a empezar dibujando una curva que se llama tractriz. Pensemos en lo siguiente, un perro anda buscando conejos, y de repente a una cierta distancia aparece uno que sale corriendo. El conejo no corre más que el perro, pero el perro tampoco corre más que el conejo, es decir, los dos llevan la misma velocidad, pero mientras el conejo siempre corre en linea recta, el perro va girando apuntando siempre hacia el conejo. Si siguieramos el siguiente gráfico, el conejo sería el punto azul y correría según la linea azul, y el perro sería el punto marrón y su trayectoria sería la curva marrón. Pues bien, esta curva es lo que se conoce como tractriz.
Ahora empecemos a girarla muy rápida, alrededor de la linea azul, de manera que obtendremos una especie de cucurucho
Esto es lo que se conoce como pseudoesfera y su curvatura de Gauss es -1. Para jugar con esta superficie y darle vueltas, podeis pasar por esta página de Wolfram Mathworld donde además encontrareis mucha más información sobre esta curva.
Y si habeis entendido todo bien, ahora sabreis si se puede construir una pseudoesfera enrollando una hoja de papel o no. ¿Se puede?
Lo curioso de los diamantes es que no son más que átomos de carbono, bien colocados, pero de carbono. No es ningún compuesto especial como pueda ser el rubí, que necesita óxido de aluminio y además estar mezclado con hierro y cromo, no, es simplemente carbono.
Y lo que es más raro aún, el grafito también es carbono, las minas de los lápices están hecha de átomos de carbono, igual que los diamantes, pero entonces ¿por qué el grafito es negro y mancha y el diamante es cristalino y duro?
Para encontrar las diferencias hay que bajar a muy baja escala, hay que ver cómo están organizados los átomos de carbono para entender las diferencias. Vamos a seguir paso a paso como construiríamos un diamante si pudieramos manejar átomos como piezas de lego.
Lo primero es colocar 8 átomos en las esquinas de un cubo, tal que así:
Para los que no vean el cubo (sí sí, ahora es facil, pero ya vereis después) lo dibujamos:
Bien, ya tenemos el principio. Esto sería una estructura "cúbica simple", pero no es suficiente, ahora necesitamos poner un átomo en cada cara del cubo, tal y como sigue:
De manera que forman una especie de cruz que se cruza con centro en el centro del cubo (valga la redundancia)
Con lo que ahora tenemos 14 átomos colocados así:
Pero todavía no hemos acabado. Ahora tenemos una red que se llama "fcc", (face centered cubic o cúbica centrada en las caras, en castellano). Lo interesante ahora es que por cada átomo de carbono, tenemos que colocar otro cerca de él ¿cómo de cerca? pues un cuarto del lado del cubo hacia la derecha, un cuarto hacia arriba y un cuarto hacia atrás, como se muestra en la imagen (sí, ya se que no está muy lograda pero es lo que hay):
Donde se puede ver que seguimos teniendo el cubo original
Pero también uno nuevo, con sus átomos en sus caras formando una cruz, resultado de duplicar el primero
Así que finalmente tenemos
o quitando las lineas (y perdiendo de vista toda la estructura)
Todo esto está muy bien, pero... ¿por qué convierte al diamante en algo tan especial? Bueno, pues para eso hay que recordar un par de cosas de los tiempos de instituto. La valencia del carbono es 4, lo que significa que tiene 4 electrones libres en su capa de valencia y que o bien los cede, o bien gana otros 4 para tener su última capa completa. En la práctica lo que hace el carbono es compartir sus 4 electrones con otro átomo, de manera que entre los dos suman 8 y en una especie de simbiosis de "ahora los tiene uno, ahora los tiene otro", los dos tienen completa su capa de valencia. Pero tampoco es así porque no comparte los cuatro electrones con el mismo átomo, sino que hace 4 enlaces con otros 4 átomos diferentes. Y además, la manera más eficiente de hacer eso es que los electrones que se comparten estén lo más lejos posible los unos de otros, es decir, que si uno se va para la derecha, el otro para la izquierda. ¿Cómo se consigue esto con 4 electrones? Pues con un tetraedro, ya que estamos en un espacio de 3 dimensiones, usamos la figura en la que sus cuatro vertices están a igual distancia unos de otros
Pues bien, fijaos en la siguiente figura:
Las lineas blancas representan los enlaces de un átomo de carbono central con otros cuatro, mientras que las amarillas dibujan el tretaedro. Y lo mismo que pasa para ese ejemplo sucede para todos los átomos del diamante, así que resulta que el diamante es la estructura óptima del carbono, aprovechando al máximo la energía de los enlaces, y por eso es el mineral de mayor dureza.
Un momento... entonces en el grafito ¿cómo se distribuyen los átomos? Bueno, de eso no he hecho imagenes, pero se puede ver bien la wikipedia que el en el grafito los átomos de carbono se distribuyen en láminas como panales, formando hexágonos, de manera que en esa red (hcp o hexagonal compacta) lo que sucede es que se aprovecha mejor el espacio y los átomos ocupan el mínimo espacio posible, aunque en contrapartida, debido a la estructura laminar, es más frágil.
Y para finalizar, un brillante no es más que un diamante tallado de una manera especial. La talla del diamante tiene que ser muy exacta para aprovechar la estructura de la que hemos hablado y que los reflejos de luz sean todo lo impresionantes que tienen que ser. También hay otros tipos de tallas para diamantes, pero para leer más sobre eso, es mejor que paseis a esta otra página.
Cuando en clase me enseñaron que un cilindro se puede construir tomando cuadrado en el papel y diciendo que los puntos de un lado son los mismos que los puntos del opuesto, lo primero que vino a la cabeza fue el pacman. Si estoy en una de las salidas laterales y voy un poco más allá, aparezco en la otra. Tenía sentido.
Este artículo trata precisamente de eso, de ver que tipos de espacios para videojuegos pueden existir y como se comportarían en pantalla.
El primer ejemplo y más sencillo, es el del Pac-Man, en su universo cilindro. Si asociamos los puntos de la derecha con los de la izquierda podemos salir por un lado de la pantalla y volver por el otro, aunque por abajo y por arriba no podemos pasar. Estoy seguro de que esto pasa en muchos más juegos, pero no me apetece ponerme a buscarlos.
El ejemplo de cómo construir un cilindro está claro a continuación. Y el resultado con el Pac-Man queda bastante claro.
Otro de los grandes clásicos del arcade es el Asteroids. Pues sí, este también juego también tiene un universo peculiar, ¿o acaso a nadie le extraña que los asteroides salgan por abajo y vuelvan por arriba manteniendo por lo demás su trayectoria? Esta vez estamos ni más ni menos que ante un toro (no, no un toro con cuernos, un toro con agujero, vamos, una rosquilla). La construcción del toro es como la del cilindro, pero asociamos los lados dos a dos, de manera que queda todo cerrado. De hecho, como no tiene limites, puesto que por más que me mueva nunca llego a ningún tope, se dice que es una superficie cerrada, cosa que no ocurre con el cilindro (a no ser que pensemos en el cilindro infinito), donde podemos llegar a un limite por arriba o por abajo.
La construcción del toro es sencilla también:
Pero las cosas se podrían complicar más. No conozco ningún juego que tenga la topología que explico a continuación, pero habría que estudiarla. Veamos, ahora se trata de hacer lo mismo que hacíamos con el cilindro, asociar los puntos de un lateral con el otro, pero con la vuelta de tuerca de que tenemos que hacerlo al revés. Sería algo así:
Primero giramos un lado de la tira de papel para que encajen los colores, y luego unimos los dos lados. El resultado se conoce como una banda de Moebius y tiene un pequeño problema, y es que si hiciéramos un juego así, en el que si nos vamos de la pantalla por la zona de arriba a la izquierda, apareceremos en la zona de abajo a la derecha, pero al revés, cabeza abajo (cuanto más arriba salimos, más abajo aparecemos), esto es debido a que la banda de Moebius es una superficie, no orientable, no tiene una cara de dentro y otra de fuera, como pueda tener el cilindro o el toro.
Y si rizamos el rizo, tenemos la botella de Klein, que es como un toro pero con aires de cintas de Moebius. Primero enrollamos para crear un cilindro y luego tenemos que unir los dos extremos, pero cambiando la orientación, haciendo que "coincidan los colores". El problema de esta superficie es que no se puede representar en el espacio de 3 dimensiones sin recurrir a trucos como atravesar una pared para meter el tubo por ella, pero claro, eso ya no es una genuina botella de Klein.
Y claro, si habéis seguido el desarrollo claramente, os preguntareis por el último caso, siguiendo el cauce natural de las cosas. Si unimos los lados dos a dos, pero cruzados ambos… entonces tenemos lo que se conoce como plano proyectivo. La definición más clara es aquella en la que se asocian dos puntos diametralmente opuestos. Este sería más o menos fácil de manejar en un videojuego, sobre todo si la pantalla es un círculo y la vista es desde arriba.
¿Hay algún juego con estas topologías exóticas? Quizá alguien pudiera hacer uno sencillo en el que incluso se pudiera elegir en que tipo de universo jugar. Bueno, la idea queda ahí y la pregunta a continuación. Nosotros ¿en que universo vivimos? Quizá algún día exponga lo que se supone por ahora.
Actualización: Gracias a papá oso en los comentarios que ha encontrado este enlace donde se puede jugar a sencillos juegos programados en java, sobre una botella de klein. Realmente entretenidos ;)
A raíz de los últimos experimentos hay un poco de revuelo sobre la teleportación. ¿Acabaremos usando el teletransporte como en "Star Trek" o en "La mosca"?
Pues por lo que sabemos ahora, no. La cuestión está en que el teletransporte en la ciencia ficción puede tener que ver más con la relatividad espacial que con la cuántica, así que no tenemos que desesperar todavía, aunque la teleportación cuántica no es la solución.
¿Cómo funciona? Bueno, en realidad es complicado y hay que tener conocimientos previos, o al menos una idea clara de la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica, pero espero poder explicar lo que yo se con un pequeño ejemplo. Supongamos que Alice tiene un folio con la siguiente figura:
Pues bien, quiere teletransportarle a Bob este dibujo. Para ello necesitan un par de folios mágicos. Son mágicos en el sentido cuántico en el que son dos partículas entrelazadas. Para los electrones significa que cuando yo miro uno, si tiene spin +1, el otro tendrá -1, y viceversa, y siempre ocurre eso, porque son "mágicos", pero de la naturaleza del entrelazamiento ya hablaremos en otro momento. Ahora basta con saber que lo que le pase a uno, el otro lo siente de alguna manera.
Pues bien, de ese par de folios mágicos, uno lo tiene Alice y el otro le llega a Bob. Alice hace un experimento con su folio mágico y su dibujo y estos dos se juntan de una manera rara. Pueden pasar cuatro casos:
Y lo que es más importante, en el folio en el que estaba el dibujo, ahora ya no está, no sabemos muy bien lo que hay, pero ha cambiado. Y mientras tanto, en folio mágico de Bob, como hemos hecho algo en el de Alice, también ha cambiado, y ahora tiene la el dibujo... o casi, porque a Bob le pueden haber llegado alguna de estas 4 cosas.
Como se ve, son todos muy parecidos, para pasar de una a otra solo hay que girarlo o ver la imagen en un espejo. Pero Bob NO SABE cuál es el que dibujó Alice al principio, así que todavía no hemos conseguido teletransportar el original, porque Bob necesita saber como girar su dibujo para que sea igual al que tenía Alice al principio. Lo que sí sabe Bob, es que si a Alice le quedan los dos folios unidos por el lado grande, no tiene que hacer nada, si a Alice le quedan unidos por el lado corto, tiene que hacer una simetría respecto al lado grande, si a Alice le quedan unidos por lados distintos, la simetría tiene que ser por el lado corto, y si a Alice le quedan los dos folios cruzados, solo tiene que girar la imagen 180º. En resumen, si Bob sabe que obtuvo Alice en su experimento con los dos folios, puede modificar la imagen que ha aparecido mágicamente en su folio mágico para que sea igual a la que tenía Alice y si Bob no tiene manera de saberlo, la teleportación está incompleta.
Pero entonces… exacto, la gracia del asunto es que el método no sirve para enviar información instantanea (lo que violaría algún que otro principio de la física), porque Alice le tiene que mandar un mensaje "no-mágico" (clásico) a Bob para decirle que salió de su experimento. De hecho, en el experimento real, por cada bit cuántico teleportado, hay que transmitir dos bits clásicos para completar el proceso.
¿Lo bueno de esto? Que los bits clásicos no tienen información sobre el cuántico, lo que quiere decir que aunque alguien copie el mensaje, si no ha tenido acceso a los "folios mágicos" y los ha trucado, no tiene acceso a la información y el mensaje es seguro, de manera que como canal de información, no tiene precio.
Para quien no lo haya visto en los enlaces de aquí al lado, tenemos el increible blog "Historias de la ciencia". Así sin más hay quien podría pensar que es un blog más de divulgación, pero sería un error clasificarlo así, puesto que va más allá; Historias de la ciencia nos muestra el lado más humano del progreso. En este blog encontraremos historias sobre descubrimientos y hallazgos científicos, pero siempre tendrán como protagonistas a las personas, con sus anecdotas, sus despistes y sus temores y sus pasiones.
Pues bien, Omalaled, autor del blog, nos amenazó con dejarlo. Afortunadamente recapacitó y sigue en la brecha, pero nos dió un susto considerable y en mitad de ese susto fué cuando pensé que sería una pena que un trabajo de tanta calidad se perdiera, así que me puse manos a la obra, saqué el manual de LaTeX y me puse a componer un pequeño libro con las anecdotas que nos narraba todas las semanas. Ese es el trabajo que me ha tenido ocupado.
Hoy ya tenemos dos versiones del libro, aunque es un libro que solo abarca los artículos publicados durante el 2005. Si no lo va a dejar inmediatamente, siempre se pueden recolectar los del 2006 en otro volumen.
Está maquetado para imprimir a doble página, pero tenemos una versión que irá en A4, y otra versión que nos facilitará un encuadernado más profesional, esta última viene en un zip que contiene el pdf y unas pequeñas instrucciones aparte sobre como encuadernarlo.
El libro en sí, intenta mantener el espíritu de lo que es una publicación periódica, de manera que cada més se introduce con un calendario en el que aparece la fotografía del "personaje del día" o algo similar, y cada artículo tiene su fecha y la categoría en la que se publicó.
También se ha incluido un indice alfabético de personajes, para poder tener localizadas, por ejemplo, todas las historias en las que participa Eisntein, o Feynman.
Y claro, si uno quiere disfrutar de las anecdotas en la pantalla, siempre se puede pasar por la página original.
Ya colgué por aquí mi trabajo para la asignatura de Física en la Ciencia Ficción, hoy toca el trabajo de la asignatura de Fractales. La verdad es que si la asignatura hubiera sido algo serio para estudiar todo el trasfondo matemático hubiera resultado un infierno, pero consitía en hacer dibujitos a base de funciones de matlab.
Un ejemplo del resultado de mi trabajo se puede ver en el video:
La calidad no es demasiado buena, el programa puede conseguir algo mejor, y con más funcionalidades, como persepctivas, aprovechar otras paletas de colores o presentar otro tipo de simetrías.
En el archivo zip vienen las dos funciones necesarias para ejecutar el programa y la documentación que presenté, en el que se explica un poco todo el mundillo de las fractales, en partícular las representaciones en el plano complejo, y la relación de los conjuntos de Julia (y las animaciones que se generan) con el famoso conjunto de Mandelbrot.
Bueno, si tenemos en cuenta el ritmo de actualización que llevaba ultimamente, ha decaido un poco estos días, solo el problema desde el sábado. Pero claro, resulta que tengo un pequeño proyecto entre manos y no tengo tiempo para todo. Con un poco de suerte, acabaré en estos días y podremos disfrutar todos de él, pero mientras tanto, os dejo mi pequeño relato corto de ciencia ficción.
Después de pasar todo un cuatrimestre por una clase en la que se veían películas de CiFi y luego se comentaban para ver por donde fallaban, uno aprende de que trata el género. Eso no quiere decir que sepa como crearlo, así que el relato no es demasiado bueno, la idea quizá si lo sea, pero literariamente... le faltan "metáforas floridas".
