2006-08-29

A vueltas con el (por fin) Teorema de Poincaré

Me había medio prometido, que no hablaría de ello, que es demasiado técnico y que me enrollo como una persiana, que la gente no sería capaz de entender lo que es una 3-esfera, y mucho menos una n-esfera, pero después de leer este artículo en Microsiervos, no he podido resistir la tentación.

En él se encuentran enlaces a toda la historia sobre Perelman, su rechazo de la medalla Fields e incluso una pequeña descripción de qué dice el teormea (en la demostración no me meto). Por supuesto, la explicación que dan del teorema habla de variedades simplemente conexas y homeomorfismos y demás. Es, ciertamente, una de las descripciones más sencillas a la par de rigurosas que se pueden encontrar, pero le falta la parte divulgativa. O el nivel de los lectores de Microsiervos es muy, pero que muy alto para entender eso, o no se van a enterar ni la mitad.

Usé el formulario de contacto para enviarles un poco de aclaraciones de como va el tema, y ahora lo pongo aquí, un poco modificado:


Llanamente se puede decir que una variedad es simplemente conexa cuando ocurre lo siguiente.

Imaginemos un lazo, que está sobre la esfera, sí, una cuerda anudada, y de ahí no se puede levantar, todos los puntos del lazo, tienen que estar en contacto con la esfera. Pues bien, si hacemos el lazo más pequeño, y más pequeño, y más pequeño, al final nos quedamos con un punto.

¿Qué pasa si tenemos un toro (una rosquilla)? Tambien es una variedad cerrada, pero no es simplemente conexa, pq si hacemos que el lazo pase por el agujero, no podemos hacerlo más pequeño, quedará atado a la roquilla y nunca llegará a ser un punto.

Como curiosidad, decir que topologicamente, las formas se vienen a clasificar según el número de agujeros. Por ejemplo, el ratón del ordenador, si se pudiera hinchar y deformar, como no tiene agujeros, sería homeomorfo con una esfera, mientras que una taza con su asa, como tiene un agujero, sería homeomorfo con una rosquilla (los topólogos son esos señores que a la hora del desayuno confunden la taza con el donuts). Y queda así explicado, (más o menos), lo que significa un homemorfismo.

Además, mientras una esfera se puede, ver, una esfera en 3D es una cosa que poca gente (por no decir nadie) se puede imaginar. Si una esfera normal (de radio 1) tiene de fórmula x2+y2+z2=1, una 3-esfera tiene de fórmula x2+y2+z2+t2=1 y así sucesivamente para una n-esfera.

El Teorema de Poincaré dice, que, si una esfera es la única variedad en 2D cerrada y simplemente conexa, ocurre lo mismo con una 3-esfera, en general una n-esfera, que será la única variedad en n dimensiones, cerrada y simplemente conexa. Esto es lo que ha demostrado Perelman. Bueno en realidad estaba demostrado para todo n menos para n=3, y Perelman ha conseguido al final convertir la conjetura en teorema.

Para aclarar dudas, pregunten.

Actualizando: Por el despiste cotidiano tan normal en mi, las definiciones 2-esfera y 3-esfera eran erroneas. Para definir la 2 esfera se utiliza el espacio de 3 dimensiones (x, y, z) generando una superficie sobre la que podemos dar un punto con tan solo dos coordenadas (theta, phi ó latitud y longitud son dos pares de ellas). La definición que teníamos de 2-esfera (x2+y2=1) ilustraría una 1-esfera, que no es otra cosa que una circunferencia. Valga el error para observar como, al igual que una 1-esfera no encierra una 2-esfera (aunque tanto el ciruclo como la esfera sean superficies), una 2-esfera no encierra una 3-esfera, aunque esta sea un objeto en 3D (pero no un volumen representable).

Etiquetas:

2 Comentarios:

At 5:10 p. m., Blogger Alvaro G.A. said...

A ver si lo he entendido...

¿El tipo ha demostrado, que deformando una 3-esfera se pueden conseguir todos los objetos sin agujeros y con 4 dimensiones?

Porque si la 2-esfera "vive" en nuestro espacio de 3 dimensiones, supongo que una n-esfera "vivira" en un espacio de n+1 dimensiones.

De lo que se deduce que una esfera es el "espacio" que delimita una especie de "superficie" cerrada. Pero en el caso de la 3-esfera esa superficie tiene 3 dimensiones, por lo que se podría decir volumen.

Vamos que un objeto de n dimensiones se delimita por otro de n-1 dimensiones.

Espero haber entendido algo :-S

 
At 5:49 p. m., Blogger Sergio said...

El tipo ha demostrado que deformando una 3-esfera se pueden conseguir todas las variedades "sin agujeros" en 3 dimensiones, que para imaginártelas, tendrías que meterlas en un espacio 4 dimensional.

Si estas pensando que una 3-esfera pueda ser el volumen de una 2-esfera (el balon con los puntos de su interior), no van por ahí los tiros.

Aunque claro, si vamos a seguir discutiendo este tipo de cosas, igual necesitaba repasar un poco la materia.

 

Publicar un comentario

Enlazan a este artículo:

Crear un enlace

<< Inicio