2005-02-19

Números primos de Mersenne, números perfectos y números amigos.

Ya en su día echamos un ojo a los números primos gemelos, y explicamos en que consistían. Hoy vamos a empezar por los números amigos.

Se dice que dos números son "números amigos" cuando son enteros positivos y la suma de los divisores de uno es igual al otro y viceversa. Por ejemplo: 220 y 284 son amigos puesto que:

  • los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110
  • los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142
  • 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • 1+2+4+71+142=220
Los primeros pares de números amigos son (220, 284), (6232, 6368), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056), que como se puede ver crecen de manera exagerada lo que indica, como todos supoíamos ya, que en las matemáticas no hay mucha amistad.

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Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra, descubrió una fórmula que crea parejas de este tipo; si
  • p = 3 × 2n-1 - 1
  • q = 3 × 2n - 1
  • r = 9 × 22n-1 - 1
donde n>1 y p, q, r son primos, entonces el par (2npq, 2nr) es de números amigos.

Con esta fórmula se pueden obtener las parejas anteriormente citadas, menos la segunda, de manera que aunque nos de números amigos, no nos los da todos.

Seguimos. Un número es perfecto cuando es amigo de si mismo. Esto es cuando es igual a la suma de todos sus divisores menos que el mismo, por ejemplo, el 6 tiene por divisores 1, 2 y 3 de tal manera que 1+2+3=6. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128, a los que Euclides asoció la fórmula
  • 2n−1(2n − 1)
Al darse cuenta de que 2n - 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n-1(2n - 1) genera un número perfecto par siempre que 2n - 1 es primo. De echo no se conoce la existencia de números perfectos impares, aunque existen algunos resultados parciales. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.

Es verdad que si n es un número primo, entonces 2n−1(2n − 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n - 1 se los conoce como números primos de Mersenne, que es el fondo de este post y a lo que vamos.

Como ya hemos dicho los números de la forma 2n-1 que son números primos, son primos de Mersenne. Por ejemplo:

  • 1=21-1
  • 3=22-1
  • 7=23-1
  • 15=24-1
Como se puede ver, ni todos los números de Mersenne son primos, como en el caso del 15, ni todos los números primos son números de Mersenne, como en el caso del 5. Pues bien, es posible que se haya encontrado el 42º número primo de Mersenne. Existe un grupo, GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search), en el que descargandote un pequeño programa, tu ordenador usará el tiempo que no lo uses para calcular números de este tipo y luego enviar ese trabajo a un servidor. De esta manera, GIMPS ha encontrado los últimos 8 (contando con este último posible) primos de Mersenne y además, de confirmarse la noticia el nuevo número descubierto sería el primo más grande conocido.

La noticia entera se puede encontrar en Mathworld.
Si lo que te interesa es saber más cosas sobre los números (en general), recomendamos la Wikipedia.
Si quieres enterarte de como funciona GIMPS, pues pasa por su web.
Y si tienes alguna duda, pues déjame un comentario.

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