2006-11-18

Ley de Snell: principio de Huygens y geometría

La tercera y última demostración de la ley de Snell no es tan elegante como la primera (o al menos a mi es la que más me gusta), ni tan enrevesada y complicada como la segunda, por otro lado a mi parecer es la más sencilla de las tres y la que más gente conoce.

Esta demostración se basa en el principio de Huygens, que dice que todo punto al que le llega una onda se comporta como un foco de nuevas ondas. Imaginemos que tiramos una piedra en el centro de un estanque, entonces se formará en principio una onda circular con centro en el lugar donde cayó la piedra, pues lo que dice el principio de Huygens, es que los puntos donde está esa onda, se comportan como si hubieramos tirado una piedra en cada uno de ellos. Alguien dirá que entonces tendremos un montón de ondas todas mezcladas y no se observaría nada... bueno, en realidad sí que tenemos un montón de ondas todas mezcladas, pero como en todos los puntos es como si hubiera caido una piedra igual, con la misma fuerza y a la vez, todas las nuevas ondas serán iguales y entonces tendremos que al sumarlas se generará otra onda círcular con centro el punto donde cayó la primera piedra (y única, el resto son imaginarias).

De esta manera, si conocemos el frente de ondas de una onda (el lugar donde comienza la onda), podremos adivinar donde estará este frente en algún momento del futuro inmediato solamente trazando circulos iguales en la linea que dibuja, y luego dibujando la linea que sea tangente a todas las circunferencias, la envolvente de todas las ondas. La idea sería algo como el próximo esquema:



Sin embargo hay que observar que todos los círculos tienen el mismo radio porque la onda se mueve a la misma velocidad en todos esos puntos, si la onda se moviera por un medio a distinta velocidad, recorrería una distancia diferente en el mismo tiempo, haciendo los círculos más grandes, si la velocidad es mayor (recorre más espacio) o más pequeños si es menor (recorre menos espacio).

Pues bien, supongamos que tenemos un rayo de luz que va a pasar de un medio como el aire a otro como el agua. En este caso, la velocidad de la luz en el aire es mayor que en el agua, por lo que tendremos que dibujar los círculos más pequeños.

Entonces, se genera un frente de ondas que, al tener que ser la envolvente de círculos que no han llegado tan lejos como lo hubieran hecho de seguir en el mismo medio, estará desviado.



Así, como se ve en el esquema, tendremos que el frente de ondas incidente (segmento OP) forma un ángulo con la superficie de separación θ1, mientras que el frente de ondas que se propaga por el agua (segmento O'P') forma un ángulo θ 2 con la misma superficie de separación de los dos medios. Además, el radio del círculo pequeño tendrá una longitud v2·t, siendo v2 la velocidad de la luz en ese medio, mientras que, en ese mismo tiempo t, la luz recorre en el primer medio una distancia v1·t, que es precisamente el radio del círculo grande (los círculos pequeños a trazos son las ondas que se generan en tiempos intermedios).

Ahora solo nos queda aplicar un poco de trigonometría para ver que:

sen1)= (v1·t)/(OP')
sen2)= (v2·t)/(OP')

De donde se deduce que

sen1)/v1=sen2)/v2

Que es, ni más ni menos, la misma ley de Snell que ya habíamos visto en ocasiones anteriores.

Y con esto, tenemos las tres demostraciones de como se comporta la luz al pasar de un medio a otro.

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