2006-09-05

El problema de la semana (V)

Bueno, ya tenemos la solución del problema anterior. No era tan dificil ;) y el problema de esta semana es de los fáciles, teniendo en cuenta que he sido capaz de adivinarlo yo... (o eso creo).

Parece ser que a los que idean este tipo de problemas les gustan las situaciones de vida o muerte y de salvación o perdición, porque si no, no se explica.

Suponiendo que hayas escapado del diablo, el muy listo no te deja en tu casita tranquilo, no, te deja en mitad de un conflicto de guerra detrás de las lineas de defensa enemigas, con lo que, naturalmente, te toman por un espía. Pero como tampoco lo tienen claro por tu aspecto (pareces cualquier cosa menos un espía), te proponen una pequeña prueba.

Te dan dos bolsas, en una hay 50 canicas negras y en otra 50 canicas blancas. Puedes redistribuir las canicas como quieras, y puede haber más canicas en una bolsa que en otra con la única condición de que todas las canicas tienen que estar en alguna bolsa (no vale tirar las canicas negras por el desagüe). Después de que hayas reordenado las canicas como te haya apetecido, te entregaran una de las dos bolsas, al azar, y tendrás que elegir una canica con los ojos vendados. Si es blanca te libras, si es negra, te matan.

Pero ya has demostrado que eres suficientemente inteligente como para maximizarte las posibilidades de supervivencia. ¿Cuál es la distribución de las canicas que maximiza la probabilidad? ¿Cuál es esa probabilidad?

Si hay alguna duda con algún punto, ya sabeis, preguntad.

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7 Comentarios:

At 4:05 p. m., Blogger Alvaro G.A. said...

A mi se me ocurren dos soluciones.

Primero: con 100 canicas se puede escapar de cualquier situación, puedes tirarlas por el pasillo y hacer resbalar a los que sigan. Una bolsa con 50 canicas hace daño si le das a alguién en la cara con ella.

Segundo: Creo que da exactamente igual, P(m) = .5 * (1-x) + .5 * x = .5.

Con P(m) la probabilidad de morir y x la proporción de canicas negras por bolsa.
Si la ecuación es verdadera, se ve que la proporción x es idependiente de la de morir.

pero por supuesto creo que lo más lógico es usar la primera opción.

 
At 10:55 p. m., Blogger Lore said...

me gusta tu primera opción,y la verdad podría ser la más lógica,aunq tb puedes intentar tirarselas al malo,a ver si con suerte le das en un ojo y puedes irte corriendo.

Pregunta: ¿Tenemos tippex??

Ya se que la solución no es esta,ni tu objetivo las soluciones chorras,pero son divertidas,jejeje

 
At 11:14 p. m., Blogger Sergio said...

Veamos, se me ocurren dos cosas. Primero, no tienen por que salir corriendo detrás de ti, les basta con pegarte un tiro, total... Por otro lado darle a alguien con la bolsa, posiblemente le rompas los dientes y lo dejes medio muerto... mientras el compañero de pega un tiro. Tu única opción, si quieres usar las canicas como arma, es ser una especie de ninja superentrenado y colarselas a los malos por la garganta, o meterselas por los ojos mientras haces piruetas estilo Matrix esquivando los tiros de los demás.

Respecto a la solución de verdad... la formula no es correcta. La probabilidad de dos sucesos independientes no se suma, se multiplica.

 
At 12:55 a. m., Blogger Alvaro G.A. said...

Respecto a la solución de verdad...

Un momento, yo considero más valida la opción de usar las canicas como arma. ¿Que pruebas tienes de que si sacas la blanca no te matan?

Luego, aunque la formula sea inválida, sigo teniendo el pálpito de que la solución es esa.

Solo una cuestion...
En esta página dice que dos sucesos (A y B) son independientes si:

P(B/A)=P(B)

Vamos que no entiendo a que dos sucesos te refieres.
Porque P(B)=.5 y P(B/A) = 0

Luego:
P( A o B ) = P( A ) + P( B ) - P( A y B )
y
P( A y B ) = P( B/A ) · P( A )

donde 'y' es la intersección
y 'o' es la unión.

No voy a hacer todo el desarrollo por que todos los que leen este blog (los tres) saben tantas o más mates que yo (creo que más).
Pero sale lo que yo decía.

No es que quiera tener razón, es que quiero que se me aclare mejor porque no la tengo...
(Oigo campanas y no se donde)

 
At 9:25 a. m., Blogger Sergio said...

Bueno, a ver, la primera que pones P(B/A)=P(B) no tengo muy claro como va, aunque creo que la he tenido que usar en algún momento. Sin embargo, luego das en el clavo:

P(A y B) = P(B/A)·P(A)=P(B)·P(A)

Ahora, ¿cuales son los dos sucesos? Primero, elegir una bolsa, segundo, elegir una canica.

Nos interesa la probabilidad de que la canica sea blanca, para lo que pueden pasar dos cosas:
1) nos dan la bolsa A y sacamos una canica blanca
2) nos dan la bolsa B y sacamos una canica blanca

la probabilidad de 1) será la probabilidad de que nos den la bolsa A multiplicado por la probabilidad de sacar una canica blanca en esa bolsa
la probabilidad de 2) será la probabilidad de que nos den la bolsa B multiplicado por la probabilidad de sacar una canica blanca en esa bolsa

La probabilidad total será la suma de esas dos.

Por ejemplo, 25 de cada color en cada bolsa P=1/2*1/2+1/2*1/2=1/4+1/4=1/2
o las blancas en una bolsa y las negras en otra P=1/2*1+1/2*0=1/2

Ahora se trata de obtener el máximo de este planteaminento matmático.

Vaya, está casi todo hecho ;) aunque ciertamente, cuando encontré la solución, lo hice de una manera más intuitiva. Luego comprobé que era correcto.

 
At 10:00 p. m., Blogger Alvaro G.A. said...

Tal como lo dejas es lo que dije en un principio.

Vamos a hacer un desarrollo del asunto.
N = sale bola negra, prob .5
B = sale bola blanca, prob .5

1 = sale bolsa 1, .5
2 = sale bolsa 2, .5

Queremos minimizar P( N ) = P( 1 y N ) + P(2 y N) = P(N/1) P(1) + P(N/2) P(2) =

NOTA{ P(N / 1) = 1 - P(N / 2) [Esto es trivial, que quiere decir que no me apetece demostrarlo pero es verdad) }

= ( 1 - P(N /2) ) P(1) + P(N/2) P(2) = P(1) - P(1) P(N / 2) + P(N / 2) P(2) =

NOTA{P(1) = P(2)}

= P(1) = .5

Lo que yo decía desde un principio.

La única idea alternativa es que te dejaran escoger la bolsa, y pusieras todas las bolas en una bolsa menos una blanca en la otra y que a ojo escogieras la casi vacía

 
At 11:13 a. m., Blogger Sergio said...

Bueno, a estas alturas supongo que ya todo el mundo tiene la solución correcta, de hecho, Alvaro encontró la buena aún sin quererlo ;)

Si colocamos una canica blanca en una bolsa y el resto en la otra bolsa se maximizan las probabilidades de salir con vida.

P=1/2*1+1/2*49/99=0.7474...

Tenemos un medio de probabilidad de que nos den la bolsa con una canica blanca (en la que siempre saldremos con vida), y un medio de que nos den la otra, en la que de 99 bolas que hay, 49 son blancas.

Se puede demostrar que esta es la solución (demostración cortesía de Dani). Si alguien la quiere, la cuelgo.

 

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