2006-11-20

El problema de la semana (XVI)

La última semana plantee un problema que pensé que iba a durar más y en apenas unas horas ya teníamos la solución.

Este semana va un problema de enunciado sencillito:

Sin calcular los valores, determinar qué es mayor: eπ o πe.

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5 Comentarios:

At 12:55 a. m., Anonymous johan said...

Se me ocurre una forma, pero es bastante fea (y no se si valida):

Sacamos ln a ambos lados:

ya que si n1>n2 => ln(n1)>ln(n2)

ln(e^pi)= pi*ln(e)= pi
ln(pi^e)= e*ln(pi);

volvemos a hacer logaritmos:

ln(pi)
ln(e*ln(pi))= ln(e)+ln(ln(pi))=1+ln(ln(pi));

y otra vez mas:

ln(ln(pi))
ln(1)+ln(ln(ln(pi)))=ln(ln(ln(pi)))

y como ln(x)< x para x >1;
e^pi es mayor.

Es valida esta demostracion??

 
At 1:37 a. m., Blogger Sergio said...

Bueno, bueno, ya pensaba que nadie se iba a animar :)

La idea es buena, pero me parece que has cometido un fallo. Después de tomar logaritmos la segunda vez tienes

1+ln(ln(π))

pero al tomarlos una tercera vez

ln(1+ln(ln(π)))

no es ln(1)+ln(ln(ln((π)))

O eso, o es demasiado tarde y no me entero de una ;)

Si sigues por ahí, es posible que des con la solución. De todas formas, te voy a dar un pista: supon que son iguales (como bien dices, tomar neperianos no cambiará el orden de la desigualdad, así que la podemos poner al final), toma neperianos la primera vez, y luego coloca por un lado los e y por otro los π y a ver si encuentras algo.

Suerte!

 
At 11:34 a. m., Blogger Sergio said...

Bueno, visto que no hemos llegado a una conclusión definitiva, voy a soltar lo que yo tengo por una solución correcta del problema.

Primero planteamos la igualdad:

e^(π)=π^(e)

y luego ya veremos de que lado está la desiguladad. Como el logaritmo es una función estrictamente creciente:

ln(e^(π))=ln(π^(e))

π·ln(e)=e·ln(π)
ln(e)/e=ln(π)/π

Y tenemos ahora dos valores de la función ln(x)/x para estudiar. Solo hay que ver como se comprta esa función, para lo que empezamos calculando extremos, es decir, primero derivamos e igualamos a cero:

(1-ln(x))/x=0

de donde se obtiene que

x=e

Ahora ya sabemos que ln(e)/e es un extremo de la función, así que todos los demás valores, en partícular ln(π)/π, serán mayores o menores.

Si calculamos la derivada segunda de la función y la evaluamos en x=e, veremos que sale negativo, por lo que x=e nos dará un máximo.

Tenemos así que el primer mimebro de la igualdad es mayor que el segundo, de donde obtenemos que

e^(π)>π^(e)

Así de manera resumida, es como creo que se resuelve este problema.

 
At 11:43 p. m., Anonymous johan said...

buff... me ha costado pero creo que ya lo entiendo. es que al final vas muy directo.

por cierto como se hace pi?

 
At 1:30 p. m., Blogger Sergio said...

Vaya, si hace falta lo explico con um poco más de calma :)

Pero... ¿qué quieres decir con "como se hace pi"? Si es para escribir el caracter, te recomiendo este enlace ;)

XHTML Character Entity Reference

 

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