El problema de la semana (XVI)
La última semana plantee un problema que pensé que iba a durar más y en apenas unas horas ya teníamos la solución.Este semana va un problema de enunciado sencillito:
Sin calcular los valores, determinar qué es mayor: eπ o πe.
Etiquetas: El problema de la semana
enviado por Sergio @ 12:25 p. m.
5 Comentarios:
Se me ocurre una forma, pero es bastante fea (y no se si valida):
Sacamos ln a ambos lados:
ya que si n1>n2 => ln(n1)>ln(n2)
ln(e^pi)= pi*ln(e)= pi
ln(pi^e)= e*ln(pi);
volvemos a hacer logaritmos:
ln(pi)
ln(e*ln(pi))= ln(e)+ln(ln(pi))=1+ln(ln(pi));
y otra vez mas:
ln(ln(pi))
ln(1)+ln(ln(ln(pi)))=ln(ln(ln(pi)))
y como ln(x)< x para x >1;
e^pi es mayor.
Es valida esta demostracion??
Bueno, bueno, ya pensaba que nadie se iba a animar :)
La idea es buena, pero me parece que has cometido un fallo. Después de tomar logaritmos la segunda vez tienes
1+ln(ln(π))
pero al tomarlos una tercera vez
ln(1+ln(ln(π)))
no es ln(1)+ln(ln(ln((π)))
O eso, o es demasiado tarde y no me entero de una ;)
Si sigues por ahí, es posible que des con la solución. De todas formas, te voy a dar un pista: supon que son iguales (como bien dices, tomar neperianos no cambiará el orden de la desigualdad, así que la podemos poner al final), toma neperianos la primera vez, y luego coloca por un lado los e y por otro los π y a ver si encuentras algo.
Suerte!
Bueno, visto que no hemos llegado a una conclusión definitiva, voy a soltar lo que yo tengo por una solución correcta del problema.
Primero planteamos la igualdad:
e^(π)=π^(e)
y luego ya veremos de que lado está la desiguladad. Como el logaritmo es una función estrictamente creciente:
ln(e^(π))=ln(π^(e))
π·ln(e)=e·ln(π)
ln(e)/e=ln(π)/π
Y tenemos ahora dos valores de la función ln(x)/x para estudiar. Solo hay que ver como se comprta esa función, para lo que empezamos calculando extremos, es decir, primero derivamos e igualamos a cero:
(1-ln(x))/x=0
de donde se obtiene que
x=e
Ahora ya sabemos que ln(e)/e es un extremo de la función, así que todos los demás valores, en partícular ln(π)/π, serán mayores o menores.
Si calculamos la derivada segunda de la función y la evaluamos en x=e, veremos que sale negativo, por lo que x=e nos dará un máximo.
Tenemos así que el primer mimebro de la igualdad es mayor que el segundo, de donde obtenemos que
e^(π)>π^(e)
Así de manera resumida, es como creo que se resuelve este problema.
buff... me ha costado pero creo que ya lo entiendo. es que al final vas muy directo.
por cierto como se hace pi?
Vaya, si hace falta lo explico con um poco más de calma :)
Pero... ¿qué quieres decir con "como se hace pi"? Si es para escribir el caracter, te recomiendo este enlace ;)
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